\(\int (f x)^m (d+e x^2)^3 (a+b \log (c x^n)) \, dx\) [318]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 211 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=-\frac {b d^3 n (f x)^{1+m}}{f (1+m)^2}-\frac {3 b d^2 e n (f x)^{3+m}}{f^3 (3+m)^2}-\frac {3 b d e^2 n (f x)^{5+m}}{f^5 (5+m)^2}-\frac {b e^3 n (f x)^{7+m}}{f^7 (7+m)^2}+\frac {d^3 (f x)^{1+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f (1+m)}+\frac {3 d^2 e (f x)^{3+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^3 (3+m)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{5+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^5 (5+m)}+\frac {e^3 (f x)^{7+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^7 (7+m)} \]

[Out]

-b*d^3*n*(f*x)^(1+m)/f/(1+m)^2-3*b*d^2*e*n*(f*x)^(3+m)/f^3/(3+m)^2-3*b*d*e^2*n*(f*x)^(5+m)/f^5/(5+m)^2-b*e^3*n
*(f*x)^(7+m)/f^7/(7+m)^2+d^3*(f*x)^(1+m)*(a+b*ln(c*x^n))/f/(1+m)+3*d^2*e*(f*x)^(3+m)*(a+b*ln(c*x^n))/f^3/(3+m)
+3*d*e^2*(f*x)^(5+m)*(a+b*ln(c*x^n))/f^5/(5+m)+e^3*(f*x)^(7+m)*(a+b*ln(c*x^n))/f^7/(7+m)

Rubi [A] (verified)

Time = 1.06 (sec) , antiderivative size = 211, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.120, Rules used = {276, 2392, 14} \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\frac {d^3 (f x)^{m+1} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f (m+1)}+\frac {3 d^2 e (f x)^{m+3} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^3 (m+3)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{m+5} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^5 (m+5)}+\frac {e^3 (f x)^{m+7} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^7 (m+7)}-\frac {b d^3 n (f x)^{m+1}}{f (m+1)^2}-\frac {3 b d^2 e n (f x)^{m+3}}{f^3 (m+3)^2}-\frac {3 b d e^2 n (f x)^{m+5}}{f^5 (m+5)^2}-\frac {b e^3 n (f x)^{m+7}}{f^7 (m+7)^2} \]

[In]

Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]),x]

[Out]

-((b*d^3*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (3*b*d^2*e*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) - (3*b*d*e^2*n*(f*x)^(5
+ m))/(f^5*(5 + m)^2) - (b*e^3*n*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)^2) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(
1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*Log[c*x^n])
)/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^7*(7 + m))

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 276

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*(a + b*x^n)^p,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 2392

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> Wit
h[{u = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Dist[a + b*Log[c*x^n], u, x] - Dist[b*n, Int[SimplifyIntegrand[u/x,
x], x], x] /; ((EqQ[r, 1] || EqQ[r, 2]) && IntegerQ[m] && IntegerQ[q - 1/2]) || InverseFunctionFreeQ[u, x]] /
; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && IntegerQ[2*q] && ((IntegerQ[m] && IntegerQ[r]) || IGtQ[q, 0])

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {d^3 (f x)^{1+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f (1+m)}+\frac {3 d^2 e (f x)^{3+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^3 (3+m)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{5+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^5 (5+m)}+\frac {e^3 (f x)^{7+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^7 (7+m)}-(b n) \int (f x)^m \left (\frac {d^3}{1+m}+\frac {3 d^2 e x^2}{3+m}+\frac {3 d e^2 x^4}{5+m}+\frac {e^3 x^6}{7+m}\right ) \, dx \\ & = \frac {d^3 (f x)^{1+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f (1+m)}+\frac {3 d^2 e (f x)^{3+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^3 (3+m)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{5+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^5 (5+m)}+\frac {e^3 (f x)^{7+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^7 (7+m)}-(b n) \int \left (\frac {d^3 (f x)^m}{1+m}+\frac {3 d^2 e (f x)^{2+m}}{f^2 (3+m)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{4+m}}{f^4 (5+m)}+\frac {e^3 (f x)^{6+m}}{f^6 (7+m)}\right ) \, dx \\ & = -\frac {b d^3 n (f x)^{1+m}}{f (1+m)^2}-\frac {3 b d^2 e n (f x)^{3+m}}{f^3 (3+m)^2}-\frac {3 b d e^2 n (f x)^{5+m}}{f^5 (5+m)^2}-\frac {b e^3 n (f x)^{7+m}}{f^7 (7+m)^2}+\frac {d^3 (f x)^{1+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f (1+m)}+\frac {3 d^2 e (f x)^{3+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^3 (3+m)}+\frac {3 d e^2 (f x)^{5+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^5 (5+m)}+\frac {e^3 (f x)^{7+m} \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{f^7 (7+m)} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.17 (sec) , antiderivative size = 156, normalized size of antiderivative = 0.74 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=x (f x)^m \left (-\frac {b d^3 n}{(1+m)^2}-\frac {3 b d^2 e n x^2}{(3+m)^2}-\frac {3 b d e^2 n x^4}{(5+m)^2}-\frac {b e^3 n x^6}{(7+m)^2}+\frac {d^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{1+m}+\frac {3 d^2 e x^2 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{3+m}+\frac {3 d e^2 x^4 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{5+m}+\frac {e^3 x^6 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right )}{7+m}\right ) \]

[In]

Integrate[(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]),x]

[Out]

x*(f*x)^m*(-((b*d^3*n)/(1 + m)^2) - (3*b*d^2*e*n*x^2)/(3 + m)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^4)/(5 + m)^2 - (b*e^3*n*x^6)/
(7 + m)^2 + (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m) + (3*d^2*e*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 + m) + (3*d*e^2*x^4*(a + b*
Log[c*x^n]))/(5 + m) + (e^3*x^6*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 + m))

Maple [B] (verified)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(1760\) vs. \(2(211)=422\).

Time = 27.45 (sec) , antiderivative size = 1761, normalized size of antiderivative = 8.35

method	result	size
parallelrisch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1761\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(5073\)

[In]

int((f*x)^m*(e*x^2+d)^3*(a+b*ln(c*x^n)),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-(-1575*e^3*b*ln(c*x^n)*(f*x)^m*x^7-x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^7-25*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^6-253*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^5-1
333*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^4-3907*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^3-6283*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m^2-5055*x^7*(f*x)^m*a*e^3*m+225*x
^7*(f*x)^m*b*e^3*n-6615*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2-11025*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e-11025*x*(f*x)^m*a*d^3-1575*x^7*(f*x)^m*a
*e^3-3*x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^7-81*x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^6+3*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m^6*n-879*
x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^5+66*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m^5*n-3*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m^7-4917*x^5*(f
*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^4+549*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m^4*n-87*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m^6+3*x^3*(f*x)^m*b
*d^2*e*m^6*n-15129*x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^3+2172*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m^3*n-1023*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)
*b*d^2*e*m^5+78*x^3*(f*x)^m*b*d^2*e*m^5*n-25251*x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m^2+4269*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m^2
*n-6243*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m^4+789*x^3*(f*x)^m*b*d^2*e*m^4*n-20853*x^5*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d*e^2*m+
3906*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*m*n-20985*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m^3+3876*x^3*(f*x)^m*b*d^2*e*m^3*n-37941*x^3*
(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m^2+9357*x^3*(f*x)^m*b*d^2*e*m^2*n-33285*x^3*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^2*e*m+9870*x^3*(f
*x)^m*b*d^2*e*m*n+11025*x*(f*x)^m*b*d^3*n-11025*b*d^3*ln(c*x^n)*(f*x)^m*x-10531*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m^3+
2340*x*(f*x)^m*b*d^3*m^3*n-23101*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m^2+8191*x*(f*x)^m*b*d^3*m^2*n-x*(f*x)^m*a*d^3*m^7-
31*x*(f*x)^m*a*d^3*m^6-397*x*(f*x)^m*a*d^3*m^5-2707*x*(f*x)^m*a*d^3*m^4-10531*x*(f*x)^m*a*d^3*m^3-23101*x*(f*x
)^m*a*d^3*m^2-25935*x*(f*x)^m*a*d^3*m-25935*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m+14910*x*(f*x)^m*b*d^3*m*n-x*(f*x)^m*ln
(c*x^n)*b*d^3*m^7-31*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m^6+x*(f*x)^m*b*d^3*m^6*n-397*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m^5+30*
x*(f*x)^m*b*d^3*m^5*n-2707*x*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*d^3*m^4+367*x*(f*x)^m*b*d^3*m^4*n-25251*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m
^2-6243*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m^4-20853*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m+1323*x^5*(f*x)^m*b*d*e^2*n-20985*x^3*(f*x)^m*a*d^2
*e*m^3-37941*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m^2-33285*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m+3675*x^3*(f*x)^m*b*d^2*e*n-x^7*(f*x)^m*ln(c*x
^n)*b*e^3*m^7-11025*e*d^2*b*ln(c*x^n)*(f*x)^m*x^3-6615*e^2*d*b*ln(c*x^n)*(f*x)^m*x^5-25*x^7*(f*x)^m*ln(c*x^n)*
b*e^3*m^6+x^7*(f*x)^m*b*e^3*m^6*n-253*x^7*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*e^3*m^5+18*x^7*(f*x)^m*b*e^3*m^5*n-1333*x^7*(f*x
)^m*ln(c*x^n)*b*e^3*m^4+127*x^7*(f*x)^m*b*e^3*m^4*n-3*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m^7-3907*x^7*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*e^3
*m^3+444*x^7*(f*x)^m*b*e^3*m^3*n-81*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m^6-6283*x^7*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*e^3*m^2+799*x^7*(f*x)
^m*b*e^3*m^2*n-879*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m^5-3*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m^7-5055*x^7*(f*x)^m*ln(c*x^n)*b*e^3*m+690*x^
7*(f*x)^m*b*e^3*m*n-4917*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m^4-87*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m^6-15129*x^5*(f*x)^m*a*d*e^2*m^3-1023
*x^3*(f*x)^m*a*d^2*e*m^5)/(m^2+14*m+49)/(m^2+10*m+25)/(m^2+6*m+9)/(1+m)^2

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1222 vs. \(2 (211) = 422\).

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 1222, normalized size of antiderivative = 5.79 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((f*x)^m*(e*x^2+d)^3*(a+b*log(c*x^n)),x, algorithm="fricas")

[Out]

((a*e^3*m^7 + 25*a*e^3*m^6 + 253*a*e^3*m^5 + 1333*a*e^3*m^4 + 3907*a*e^3*m^3 + 6283*a*e^3*m^2 + 5055*a*e^3*m +
1575*a*e^3 - (b*e^3*m^6 + 18*b*e^3*m^5 + 127*b*e^3*m^4 + 444*b*e^3*m^3 + 799*b*e^3*m^2 + 690*b*e^3*m + 225*b*
e^3)*n)*x^7 + 3*(a*d*e^2*m^7 + 27*a*d*e^2*m^6 + 293*a*d*e^2*m^5 + 1639*a*d*e^2*m^4 + 5043*a*d*e^2*m^3 + 8417*a
*d*e^2*m^2 + 6951*a*d*e^2*m + 2205*a*d*e^2 - (b*d*e^2*m^6 + 22*b*d*e^2*m^5 + 183*b*d*e^2*m^4 + 724*b*d*e^2*m^3
+ 1423*b*d*e^2*m^2 + 1302*b*d*e^2*m + 441*b*d*e^2)*n)*x^5 + 3*(a*d^2*e*m^7 + 29*a*d^2*e*m^6 + 341*a*d^2*e*m^5
+ 2081*a*d^2*e*m^4 + 6995*a*d^2*e*m^3 + 12647*a*d^2*e*m^2 + 11095*a*d^2*e*m + 3675*a*d^2*e - (b*d^2*e*m^6 + 2
6*b*d^2*e*m^5 + 263*b*d^2*e*m^4 + 1292*b*d^2*e*m^3 + 3119*b*d^2*e*m^2 + 3290*b*d^2*e*m + 1225*b*d^2*e)*n)*x^3
+ (a*d^3*m^7 + 31*a*d^3*m^6 + 397*a*d^3*m^5 + 2707*a*d^3*m^4 + 10531*a*d^3*m^3 + 23101*a*d^3*m^2 + 25935*a*d^3
*m + 11025*a*d^3 - (b*d^3*m^6 + 30*b*d^3*m^5 + 367*b*d^3*m^4 + 2340*b*d^3*m^3 + 8191*b*d^3*m^2 + 14910*b*d^3*m
+ 11025*b*d^3)*n)*x + ((b*e^3*m^7 + 25*b*e^3*m^6 + 253*b*e^3*m^5 + 1333*b*e^3*m^4 + 3907*b*e^3*m^3 + 6283*b*e
^3*m^2 + 5055*b*e^3*m + 1575*b*e^3)*x^7 + 3*(b*d*e^2*m^7 + 27*b*d*e^2*m^6 + 293*b*d*e^2*m^5 + 1639*b*d*e^2*m^4
+ 5043*b*d*e^2*m^3 + 8417*b*d*e^2*m^2 + 6951*b*d*e^2*m + 2205*b*d*e^2)*x^5 + 3*(b*d^2*e*m^7 + 29*b*d^2*e*m^6
+ 341*b*d^2*e*m^5 + 2081*b*d^2*e*m^4 + 6995*b*d^2*e*m^3 + 12647*b*d^2*e*m^2 + 11095*b*d^2*e*m + 3675*b*d^2*e)*
x^3 + (b*d^3*m^7 + 31*b*d^3*m^6 + 397*b*d^3*m^5 + 2707*b*d^3*m^4 + 10531*b*d^3*m^3 + 23101*b*d^3*m^2 + 25935*b
*d^3*m + 11025*b*d^3)*x)*log(c) + ((b*e^3*m^7 + 25*b*e^3*m^6 + 253*b*e^3*m^5 + 1333*b*e^3*m^4 + 3907*b*e^3*m^3
+ 6283*b*e^3*m^2 + 5055*b*e^3*m + 1575*b*e^3)*n*x^7 + 3*(b*d*e^2*m^7 + 27*b*d*e^2*m^6 + 293*b*d*e^2*m^5 + 163
9*b*d*e^2*m^4 + 5043*b*d*e^2*m^3 + 8417*b*d*e^2*m^2 + 6951*b*d*e^2*m + 2205*b*d*e^2)*n*x^5 + 3*(b*d^2*e*m^7 +
29*b*d^2*e*m^6 + 341*b*d^2*e*m^5 + 2081*b*d^2*e*m^4 + 6995*b*d^2*e*m^3 + 12647*b*d^2*e*m^2 + 11095*b*d^2*e*m +
3675*b*d^2*e)*n*x^3 + (b*d^3*m^7 + 31*b*d^3*m^6 + 397*b*d^3*m^5 + 2707*b*d^3*m^4 + 10531*b*d^3*m^3 + 23101*b*
d^3*m^2 + 25935*b*d^3*m + 11025*b*d^3)*n*x)*log(x))*e^(m*log(f) + m*log(x))/(m^8 + 32*m^7 + 428*m^6 + 3104*m^5
+ 13238*m^4 + 33632*m^3 + 49036*m^2 + 36960*m + 11025)

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 6217 vs. \(2 (206) = 412\).

Time = 13.51 (sec) , antiderivative size = 6217, normalized size of antiderivative = 29.46 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((f*x)**m*(e*x**2+d)**3*(a+b*ln(c*x**n)),x)

[Out]

Piecewise(((-a*d**3/(6*x**6) - 3*a*d**2*e/(4*x**4) - 3*a*d*e**2/(2*x**2) + a*e**3*log(x) + b*d**3*(-n/(36*x**6
) - log(c*x**n)/(6*x**6)) + 3*b*d**2*e*(-n/(16*x**4) - log(c*x**n)/(4*x**4)) + 3*b*d*e**2*(-n/(4*x**2) - log(c
*x**n)/(2*x**2)) - b*e**3*Piecewise((-log(c)*log(x), Eq(n, 0)), (-log(c*x**n)**2/(2*n), True)))/f**7, Eq(m, -7
)), ((-a*d**3/(4*x**4) - 3*a*d**2*e/(2*x**2) + 3*a*d*e**2*log(c*x**n)/n + a*e**3*x**2/2 - b*d**3*n/(16*x**4) -
b*d**3*log(c*x**n)/(4*x**4) - 3*b*d**2*e*n/(4*x**2) - 3*b*d**2*e*log(c*x**n)/(2*x**2) + 3*b*d*e**2*log(c*x**n
)**2/(2*n) - b*e**3*n*x**2/4 + b*e**3*x**2*log(c*x**n)/2)/f**5, Eq(m, -5)), ((-a*d**3/(2*x**2) + 3*a*d**2*e*lo
g(c*x**n)/n + 3*a*d*e**2*x**2/2 + a*e**3*x**4/4 - b*d**3*n/(4*x**2) - b*d**3*log(c*x**n)/(2*x**2) + 3*b*d**2*e
*log(c*x**n)**2/(2*n) - 3*b*d*e**2*n*x**2/4 + 3*b*d*e**2*x**2*log(c*x**n)/2 - b*e**3*n*x**4/16 + b*e**3*x**4*l
og(c*x**n)/4)/f**3, Eq(m, -3)), ((a*d**3*log(c*x**n)/n + 3*a*d**2*e*x**2/2 + 3*a*d*e**2*x**4/4 + a*e**3*x**6/6
+ b*d**3*log(c*x**n)**2/(2*n) - 3*b*d**2*e*n*x**2/4 + 3*b*d**2*e*x**2*log(c*x**n)/2 - 3*b*d*e**2*n*x**4/16 +
3*b*d*e**2*x**4*log(c*x**n)/4 - b*e**3*n*x**6/36 + b*e**3*x**6*log(c*x**n)/6)/f, Eq(m, -1)), (a*d**3*m**7*x*(f
*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 31*a
*d**3*m**6*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m
+ 11025) + 397*a*d**3*m**5*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036
*m**2 + 36960*m + 11025) + 2707*a*d**3*m**4*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 3
3632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 10531*a*d**3*m**3*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**
5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 23101*a*d**3*m**2*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 4
28*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 25935*a*d**3*m*x*(f*x)**m/(m**
8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 11025*a*d**3*x*
(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 3*
a*d**2*e*m**7*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36
960*m + 11025) + 87*a*d**2*e*m**6*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m*
*3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 1023*a*d**2*e*m**5*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 +
13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 6243*a*d**2*e*m**4*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 +
428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 20985*a*d**2*e*m**3*x**3*(f*x
)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 37941*
a*d**2*e*m**2*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36
960*m + 11025) + 33285*a*d**2*e*m*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m*
*3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 11025*a*d**2*e*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 132
38*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 3*a*d*e**2*m**7*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**
6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 81*a*d*e**2*m**6*x**5*(f*x)**m/(m**8
+ 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 879*a*d*e**2*m**
5*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 1102
5) + 4917*a*d*e**2*m**4*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036
*m**2 + 36960*m + 11025) + 15129*a*d*e**2*m**3*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m*
*4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 25251*a*d*e**2*m**2*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 20853*a*d*e**2*m*x**5*(f*x)**m/(m**8
+ 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 6615*a*d*e**2*x**
5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) +
a*e**3*m**7*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 3696
0*m + 11025) + 25*a*e**3*m**6*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 +
49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 253*a*e**3*m**5*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*
m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 1333*a*e**3*m**4*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 3907*a*e**3*m**3*x**7*(f*x)**m/(m**8 +
32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 6283*a*e**3*m**2*x
**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025)
+ 5055*a*e**3*m*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 +
36960*m + 11025) + 1575*a*e**3*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3
+ 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + b*d**3*m**7*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 +
13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - b*d**3*m**6*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 31*b*d**3*m**6*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/
(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 30*b*d**3*m
**5*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 110
25) + 397*b*d**3*m**5*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3
+ 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 367*b*d**3*m**4*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*
m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 2707*b*d**3*m**4*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 +
428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 2340*b*d**3*m**3*n*x*(f*x)**m
/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 10531*b*d*
*3*m**3*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 +
36960*m + 11025) - 8191*b*d**3*m**2*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*
m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 23101*b*d**3*m**2*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3
104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 14910*b*d**3*m*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m*
*7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 25935*b*d**3*m*x*(f*x)**
m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025)
- 11025*b*d**3*n*x*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 3
6960*m + 11025) + 11025*b*d**3*x*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33
632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 3*b*d**2*e*m**7*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**
6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 3*b*d**2*e*m**6*n*x**3*(f*x)**m/(m**
8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 87*b*d**2*e*m**
6*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36
960*m + 11025) - 78*b*d**2*e*m**5*n*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*
m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 1023*b*d**2*e*m**5*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 789*b*d**2*e*m**4*n*x**3*(f*x)**m/(m*
*8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 6243*b*d**2*e*
m**4*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 +
36960*m + 11025) - 3876*b*d**2*e*m**3*n*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 3
3632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 20985*b*d**2*e*m**3*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 42
8*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 9357*b*d**2*e*m**2*n*x**3*(f*x)
**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 37941*b
*d**2*e*m**2*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 4903
6*m**2 + 36960*m + 11025) - 9870*b*d**2*e*m*n*x**3*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**
4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 33285*b*d**2*e*m*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 +
428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 3675*b*d**2*e*n*x**3*(f*x)**m
/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 11025*b*d*
*2*e*x**3*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 +
36960*m + 11025) + 3*b*d*e**2*m**7*x**5*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m
**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 3*b*d*e**2*m**6*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 81*b*d*e**2*m**6*x**5*(f*x)**m*log(c*x
**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 66*b*d
*e**2*m**5*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 369
60*m + 11025) + 879*b*d*e**2*m**5*x**5*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**
4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 549*b*d*e**2*m**4*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6
+ 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 4917*b*d*e**2*m**4*x**5*(f*x)**m*log(c
*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 2172
*b*d*e**2*m**3*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 +
36960*m + 11025) + 15129*b*d*e**2*m**3*x**5*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 132
38*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 4269*b*d*e**2*m**2*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 42
8*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 25251*b*d*e**2*m**2*x**5*(f*x)*
*m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025
) - 3906*b*d*e**2*m*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m
**2 + 36960*m + 11025) + 20853*b*d*e**2*m*x**5*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 1
3238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 1323*b*d*e**2*n*x**5*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m
**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 6615*b*d*e**2*x**5*(f*x)**m*log(c*
x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + b*e**
3*m**7*x**7*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2
+ 36960*m + 11025) - b*e**3*m**6*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*
m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 25*b*e**3*m**6*x**7*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3
104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 18*b*e**3*m**5*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32
*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 253*b*e**3*m**5*x**7*
(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m +
11025) - 127*b*e**3*m**4*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 4
9036*m**2 + 36960*m + 11025) + 1333*b*e**3*m**4*x**7*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m*
*5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 444*b*e**3*m**3*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7
+ 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 3907*b*e**3*m**3*x**7*(f*x
)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 110
25) - 799*b*e**3*m**2*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036
*m**2 + 36960*m + 11025) + 6283*b*e**3*m**2*x**7*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 +
13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 690*b*e**3*m*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*
m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) + 5055*b*e**3*m*x**7*(f*x)**m*log(c
*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025) - 225*
b*e**3*n*x**7*(f*x)**m/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*m**3 + 49036*m**2 + 36960*m
+ 11025) + 1575*b*e**3*x**7*(f*x)**m*log(c*x**n)/(m**8 + 32*m**7 + 428*m**6 + 3104*m**5 + 13238*m**4 + 33632*
m**3 + 49036*m**2 + 36960*m + 11025), True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 271, normalized size of antiderivative = 1.28 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\frac {b e^{3} f^{m} x^{7} x^{m} \log \left (c x^{n}\right )}{m + 7} + \frac {a e^{3} f^{m} x^{7} x^{m}}{m + 7} - \frac {b e^{3} f^{m} n x^{7} x^{m}}{{\left (m + 7\right )}^{2}} + \frac {3 \, b d e^{2} f^{m} x^{5} x^{m} \log \left (c x^{n}\right )}{m + 5} + \frac {3 \, a d e^{2} f^{m} x^{5} x^{m}}{m + 5} - \frac {3 \, b d e^{2} f^{m} n x^{5} x^{m}}{{\left (m + 5\right )}^{2}} + \frac {3 \, b d^{2} e f^{m} x^{3} x^{m} \log \left (c x^{n}\right )}{m + 3} + \frac {3 \, a d^{2} e f^{m} x^{3} x^{m}}{m + 3} - \frac {3 \, b d^{2} e f^{m} n x^{3} x^{m}}{{\left (m + 3\right )}^{2}} - \frac {b d^{3} f^{m} n x x^{m}}{{\left (m + 1\right )}^{2}} + \frac {\left (f x\right )^{m + 1} b d^{3} \log \left (c x^{n}\right )}{f {\left (m + 1\right )}} + \frac {\left (f x\right )^{m + 1} a d^{3}}{f {\left (m + 1\right )}} \]

[In]

integrate((f*x)^m*(e*x^2+d)^3*(a+b*log(c*x^n)),x, algorithm="maxima")

[Out]

b*e^3*f^m*x^7*x^m*log(c*x^n)/(m + 7) + a*e^3*f^m*x^7*x^m/(m + 7) - b*e^3*f^m*n*x^7*x^m/(m + 7)^2 + 3*b*d*e^2*f
^m*x^5*x^m*log(c*x^n)/(m + 5) + 3*a*d*e^2*f^m*x^5*x^m/(m + 5) - 3*b*d*e^2*f^m*n*x^5*x^m/(m + 5)^2 + 3*b*d^2*e*
f^m*x^3*x^m*log(c*x^n)/(m + 3) + 3*a*d^2*e*f^m*x^3*x^m/(m + 3) - 3*b*d^2*e*f^m*n*x^3*x^m/(m + 3)^2 - b*d^3*f^m
*n*x*x^m/(m + 1)^2 + (f*x)^(m + 1)*b*d^3*log(c*x^n)/(f*(m + 1)) + (f*x)^(m + 1)*a*d^3/(f*(m + 1))

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 558 vs. \(2 (211) = 422\).

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 558, normalized size of antiderivative = 2.64 \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\frac {b e^{3} f^{6} f^{m} x^{7} x^{m} \log \left (c\right )}{f^{6} m + 7 \, f^{6}} + \frac {a e^{3} f^{6} f^{m} x^{7} x^{m}}{f^{6} m + 7 \, f^{6}} + \frac {3 \, b d e^{2} f^{4} f^{m} x^{5} x^{m} \log \left (c\right )}{f^{4} m + 5 \, f^{4}} + \frac {b e^{3} f^{m} m n x^{7} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 14 \, m + 49} + \frac {3 \, a d e^{2} f^{4} f^{m} x^{5} x^{m}}{f^{4} m + 5 \, f^{4}} + \frac {7 \, b e^{3} f^{m} n x^{7} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 14 \, m + 49} - \frac {b e^{3} f^{m} n x^{7} x^{m}}{m^{2} + 14 \, m + 49} + \frac {3 \, b d e^{2} f^{m} m n x^{5} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 10 \, m + 25} + \frac {15 \, b d e^{2} f^{m} n x^{5} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 10 \, m + 25} - \frac {3 \, b d e^{2} f^{m} n x^{5} x^{m}}{m^{2} + 10 \, m + 25} + \frac {3 \, b d^{2} e f^{2} f^{m} x^{3} x^{m} \log \left (c\right )}{f^{2} m + 3 \, f^{2}} + \frac {3 \, b d^{2} e f^{m} m n x^{3} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 6 \, m + 9} + \frac {3 \, a d^{2} e f^{2} f^{m} x^{3} x^{m}}{f^{2} m + 3 \, f^{2}} + \frac {9 \, b d^{2} e f^{m} n x^{3} x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 6 \, m + 9} - \frac {3 \, b d^{2} e f^{m} n x^{3} x^{m}}{m^{2} + 6 \, m + 9} + \frac {b d^{3} f^{m} m n x x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 2 \, m + 1} + \frac {b d^{3} f^{m} n x x^{m} \log \left (x\right )}{m^{2} + 2 \, m + 1} - \frac {b d^{3} f^{m} n x x^{m}}{m^{2} + 2 \, m + 1} + \frac {\left (f x\right )^{m} b d^{3} x \log \left (c\right )}{m + 1} + \frac {\left (f x\right )^{m} a d^{3} x}{m + 1} \]

[In]

integrate((f*x)^m*(e*x^2+d)^3*(a+b*log(c*x^n)),x, algorithm="giac")

[Out]

b*e^3*f^6*f^m*x^7*x^m*log(c)/(f^6*m + 7*f^6) + a*e^3*f^6*f^m*x^7*x^m/(f^6*m + 7*f^6) + 3*b*d*e^2*f^4*f^m*x^5*x
^m*log(c)/(f^4*m + 5*f^4) + b*e^3*f^m*m*n*x^7*x^m*log(x)/(m^2 + 14*m + 49) + 3*a*d*e^2*f^4*f^m*x^5*x^m/(f^4*m
+ 5*f^4) + 7*b*e^3*f^m*n*x^7*x^m*log(x)/(m^2 + 14*m + 49) - b*e^3*f^m*n*x^7*x^m/(m^2 + 14*m + 49) + 3*b*d*e^2*
f^m*m*n*x^5*x^m*log(x)/(m^2 + 10*m + 25) + 15*b*d*e^2*f^m*n*x^5*x^m*log(x)/(m^2 + 10*m + 25) - 3*b*d*e^2*f^m*n
*x^5*x^m/(m^2 + 10*m + 25) + 3*b*d^2*e*f^2*f^m*x^3*x^m*log(c)/(f^2*m + 3*f^2) + 3*b*d^2*e*f^m*m*n*x^3*x^m*log(
x)/(m^2 + 6*m + 9) + 3*a*d^2*e*f^2*f^m*x^3*x^m/(f^2*m + 3*f^2) + 9*b*d^2*e*f^m*n*x^3*x^m*log(x)/(m^2 + 6*m + 9
) - 3*b*d^2*e*f^m*n*x^3*x^m/(m^2 + 6*m + 9) + b*d^3*f^m*m*n*x*x^m*log(x)/(m^2 + 2*m + 1) + b*d^3*f^m*n*x*x^m*l
og(x)/(m^2 + 2*m + 1) - b*d^3*f^m*n*x*x^m/(m^2 + 2*m + 1) + (f*x)^m*b*d^3*x*log(c)/(m + 1) + (f*x)^m*a*d^3*x/(
m + 1)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (f x)^m \left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \log \left (c x^n\right )\right ) \, dx=\int {\left (f\,x\right )}^m\,{\left (e\,x^2+d\right )}^3\,\left (a+b\,\ln \left (c\,x^n\right )\right ) \,d x \]

[In]

int((f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*log(c*x^n)),x)

[Out]

int((f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*log(c*x^n)), x)